Voedsel vindt de gaai in bomen en struiken, in de lucht en op de grond; het betreft een breed spectrum van dierlijk en plantaardig dieet: insecten en ongewervelden (waaronder veel plaagdieren), eikels, beukennootjes, hazelnoten en andere zaden en noten, vruchten als bramen, kersen, frambozen en lijsterbessen. Ook kleine of jonge zangvogels en eieren behoren tot het dieet, evenals kleine knaagdieren. Met de sterke snavel hakt de gaai gaten in harde omhulsels als slakkenhuizen, notendoppen en eierschalen en doorwoelt hij bodem, dierenpoep en menselijk afval. De Gaai heeft dus graag nootjes. Zo staat de eikel in de herfst- en wintermaanden op zijn hoofdmenu. De grote pinda's zijn een niet alledaagse aanvulling, en daarmee extra aantrekkelijk om mee te nemen.
De eik is afhankelijk van de gaai voor het verspreiden van eikels: de gaai vervoert ze in zijn keel en tussen zijn snavel naar plaatsen met een zachte ondergrond, waarna hij ze in de aarde duwt. Zo legt hij een wintervoorraad aan. Hij vergeet alleen een aantal plekjes. Wat niet teruggevonden wordt, kan uitgroeien tot een nieuwe eik. Om deze reden wordt de gaai ook wel 'de grootste bosbouwer' genoemd. De Duitse naam voor de gaai (Eichelhäher) typeert het gedrag. De wetenschappelijke naam Garrulus glandarius valt vrij te vertalen als voortdurend krassende eikelzoeker.
Van oorsprong vrij schuwe bosvogel, maar inmiddels ook volop in het stedelijk gebied te vinden. Gaaien hebben in het bos de functie van indringer-alarm; veel dieren reageren op hun alarmroep en verbergen zich. Zo kunnen de Gaaien de roep van de Buizert perfect imiteren. Gaaien zijn bekend om de opvallende blauw-zwart gestreepte tekening op de vleugel.